LEADERSHIP

Kalkulus

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM). Pada papirus tersebut, orang Mesir telah mampu menghitung volume piramida terpancung.^[1] Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.^[2]

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.^[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunanyang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".^[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral.^[5]Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. ^[6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor^[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.^[8]^[9]^[10]

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dariRoyal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus.

Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.^[11]

[sunting]Pengaruh penting

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

[sunting]Prinsip-prinsip dasar

[sunting]Limit dan kecil tak terhingga

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Limit

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: $0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga dapat lebih besar daripada 0, namun lebih kecil daripada bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, ... dan bilangan real positif apapun. Setiap perkalian dengan kecil tak terhingga (infinitesimal) tetaplah kecil tak terhingga, dengan kata lain kecil tak terhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil tak terhingga.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak cukup cermat, sebaliknya ia digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu. Secara cermat, definisi limit suatu fungsi adalah:

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:
$\lim_{x \to p}{f(x)}=L$
jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

$0 < |x-p| <\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,$

[sunting]Turunan

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Turunan

Grafik fungsi turunan.

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi.

Secara matematis, turunan fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

$f'(x)=\lim_{h \to 0}{f(x+h) - f(x)\over{h}}$ ,

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = x - z, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$f'(x)=\lim_{z \to x}{f(z) - f(x)\over{z-x}}$

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi ${f(x+h) - f(x)\over{h}}$ pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi

f (x) = x 2

pada titik (3,9):

$\begin{align} f'(3)&=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6 \end{align}$

Ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik disebut kalkulus diferensial

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

[sunting]Notasi pendiferensialan

Terdapat berbagai macam notasi matematika yang dapat digunakan digunakan untuk menyatakan turunan, meliputi notasi Leibniz, notasi Lagrange,notasi Newton, dan notasi Euler.

Notasi Leibniz diperkenalkan oleh Gottfried Leibniz dan merupakan salah satu notasi yang paling awal digunakan. Ia sering digunakan terutama ketika hubungan antar y = ƒ(x) dipandang sebagai hubungan fungsional antara variabel bebas dengan variabel terikat. Turunan dari fungsi tersebut terhadap x ditulis sebagai:

$\frac{dy}{dx},\quad\frac{d f}{dx}(x),$ ataupun $\frac{d}{dx}f(x).$

Notasi Lagrange diperkenalkan oleh Joseph Louis Lagrange dan merupakan notasi yang paling sering digunakan. Dalam notasi ini, turunan fungsi ƒ(x) ditulis sebagai ƒ′(x) ataupun hanya ƒ′.

Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka $\dot{y}$ mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidangfisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

Notasi Euler menggunakan operator diferensial D yang diterapkan pada fungsi ƒ untuk memberikan turunan pertamanya Df. Apabila y = ƒ(x) adalah variabel terikat, maka sering kali x dilekatkan pada D untuk mengklarifikasikan keterbebasan variabel x. Notasi Euler kemudian ditulis sebagai:

$D_x y\,$ atau $D_x f(x)\,$ .

Notasi Euler ini sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial linear.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x	$\frac{d}{dx}f(x)$	ƒ′(x)	$\dot{y}$ dengan y = ƒ(x)	$D_x f(x)\,$

[sunting]Integral

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik adan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah $\int \,$ , seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).

[sunting]Integral tertentu

Diberikan suatu fungsi ƒ bervariabel real x dan interval antara [a, b] pada garis real, integral tertentu:

$\int_a^b f(x)\,dx \, ,$

secara informal didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu-x, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman didefinisikan sebagai limit dari penjumlahan Riemann. Misalkanlah kita hendak mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b]. Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik {x₁, x₂, x₃,..., x_{n - 1}} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

$a = x_0 \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{n-1} \le x_n = b . \,\!$

Himpunan $P = \{x_0, x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, x_n\}\,$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval $[x_0, x_1], [x_1,x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$ . Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu xsampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

$S_p = \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann adalah:

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa Iadalah limit dari penjumlahan Riemann $\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi $P = \{ x_0, x_1, \ldots, x_n \}$ di sepanjang [a,b] dengan $\lVert P \rVert < \delta$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

$\left|\sum_{i=1}^{n} f(t_i)\Delta x_i - I \right| < \epsilon.$

Secara matematis dapat kita tuliskan:

$\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama, maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

$\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x = I = \int_a^b f(x)\,dx$

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya.

Contoh

Sebagai contohnya, apabila kita hendak menghitung integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ , yakni mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu $\int_0^b x\, dx$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah $\lim_{\lVert P \rVert \to 0}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x_i$

Pemilihan partisi ataupun titik t_i secara sembarang akan menghasilkan nilai yang sama sepanjang norma partisi tersebut mendekati nol. Apabila kita memilih partisi P membagi-bagi interval [0,b] menjadi n subinterval yang berlebar sama Δx = (b - 0)/n = b/n dan titik t'_i yang dipilih adalah titik akhir kiri setiap subinterval, partisi yang kita dapatkan adalah:

$P = \{0, \frac{b}{n}, \frac{2b}{n}, \frac{3b}{n}, \ldots, \frac{nb}{n}\}$ dan $t_i = \frac{ib}{n}$ , sehingga:

$\begin{align} \int_0^b f(x)\, dx &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta x\\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib}{n}.\frac{b}{n} \\ &= \lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n \frac{ib^2}{n^2} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2}\sum_{i=1}^n i \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{n^2} . \frac{n(n+1)}{2}\\ &= \lim_{n \to \infty}\frac {b^2}{2} (1+\frac{1}{n}) \\ \end{align}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi $\lVert P \rVert$ mendekati 0, maka didapatkan:

$\int_0^b f(x)\, dx = A = \frac {b^2}{2}$

Dalam prakteknya, penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah)memberikan cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

[sunting]Integral tak tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus (lihat bagian bawah) menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila
$F'\!(x) =\frac {d}{dx} F(x) = f(x).$
Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

$\int f(x) dx = F(x) + C$

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

Misalkan terdapat sebuah fungsi

f (x) = x 2

, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

$\int x^2 dx = \frac{1}{3} x^3 + C$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk $\int_a^b f(x) dx$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu : $\int f(x) dx$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

[sunting]Teorema dasar

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema dasar kalkulus menyatakan:

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka
$\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a).$
Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

$F'(x) = \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\, dt = f(x).$

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral $\int_a^b x\, dx$ , daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut. Anti derivatif dari fungsi $f(x)= x\,$ adalah $F(x)= \frac{1}{2} x^2 + C$ . Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu $\int_a^b x \,dx$ adalah:

$\begin{align} \int_{a}^{b} x\,dx &= F(b) - F(a) \\ &= \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{2} a^2 \\ \end{align}$

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

$\int_{0}^{b} x\,dx = \frac {b^2}{2}$

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan menerapkan definisi integral tertentu (lihat bagian atas). Oleh karena lebih praktis, teorema dasar kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

[sunting]Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersiadari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus.

Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historis lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, dinyatakan sebagai laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut dengan arah yang sama.

Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, menggunakan perumusan kalkulus diferensial karena percepatan bisa dinyatakan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga dirumuskan menggunakan kalkulus diferensial.

Free Template Blogger collection template Hot Deals SEO

AKU , KAMU & IMPIAN KITA part 2

> tepatnya 5 september 2011 nanti aku akan pergi ke aceh untuk melanjutkan kuliahku,,,,

ini kisah lanjutan dari kisah aku , kamu & impian kita,,,

bukan kemauanku untuk lulus di sana , aku juga tak ingin jauh dari keluarga ku juga Oonkuh sayang Anggiey vieytha muniing,,,,

mungkin ini jalan allah yang nentuin dmana kapan dan siapa yg akan aku temui di perjalanku nanti,,,

aku memang gak terlalu pintar juga gak terlalu bodoh walaupun aku gk juara kelas tapi aku masuk universitas negeri di negri ini,,,

banyak sudah ku persiapkan rencana untuk hidup ku di sana kelak,,,

tapi aku mendapat masalah yang sangat berat aku tertekan secara batin,,

aku gak pernah berbicara pada siapapun aku juga gk pernah mengeluh pada orang di sekitarku saat aku akan pergi jauh dan aku gak bisa menahannya dan mungkin aku belum siap,,,

tapi oon kuh selalu mendukung ku ,,

dari dulu sampai sekarang ia selalu mendukung ku,,,

walaupun kadang perkataan sakit tapi itu lah oonkuh,,,

wanita yang paling aku sayang setelah ibuku dan adiku,,,

masalah pertama adalah orang tua ku yg susah melepasku di sana aku sebenarnya juga kasian pada mereka aku takut ada apa" dan aku gak bisa membantu mereka ,,
aku hanya berharap pada allah aku bisa lulus di tempat lain yg mungkin jalan yg telah ia ridhoi,,,,

di perjalan ku ini aku ingin mendapatkan teman baru wajah" baru sifat baru suasana baru,,

tapi aku gak pernah berpikir sedikitpun untuk pacar baru,,,

aku selalu setia pada anggiey novitasari nasution...........!!!!!!!!!!!!

masalah kedua adalah si Oonkuh anggie novitasari nasution gak bisa tanpa aku,,,

dan aku pun sama ,,,,

aku bingung dengan pilihan ini yang di hadapkan pada ku,,,,

kisah aku kamu dan impian kita akankah hilang?????

aku gak berharap demikian,,

aku ingin sekali menemaninya terus dan terus kelak sampai kami tua nanti di setiap hari di setiap minggu di setiap bulan dan di setiap tahun" hidupku kuingin ada dirimu,,,
tapi apa daya ku aku gk bisa berbuat apa" aku hanay orang bisa yg gk memiliki harta lebih seperti orang" lain yg mungkin ilmunya pas"an dan bisa mauk negri karna UANG ORANG TUA YANG BANYAK,,,,

bagiku itu sama aja bohong bukan ilmu kita tapi paksaaa,,

aku bersyukur pada allah telah di luluskan mungkin ini jalan allah yang harus aku ikuti,,,

tapi aku sangat ingin BERSAMA ANGGIEY NOVITA SARI NASUTION,,,,

1. aku ingin melihatnya tersenyum setiap hari saat aku datang.
2. aku ingin melihatnya nanti lulus di UN
3.aku ingin melihatnya nanti lulus di universitas negri dan meraih GELAR BUK DOKTEL :p
4.aku ingin terus bersamanya sampai tua.
5.jangan sampaai ia melupakann kku hanya karna jarak :(

ku ingin ia tau betapa berharganya ia bagiku,,
betapa indahnya ia bagiku,,,
betapa berartinya ia bagiku,,,

tak ada yg bisa menggntikan ia di hatiku,,,

hanya ia lah satu" wanita yang selalu ku nanti yg selau ku damba hingga nanti aku mati,,,

aku gk ingin ia menjadi milik orang lain aku juga gk mau ia di rusak manusia" gak berpendidikan yg mengejar"nya,,,,,

aku ingin selalu melindunginya aku ingin menjadi pakaiian yg melindunginya dari panas,

aku ingin menjadi sepatu yg melindunginya dari panasnya aspal,,
aku ingin menjadi matanya yg bisa menjauhkannya dari keadaan buruk,,
aku ingin menjadi jiwanya yg gembira agar bisa ku buat ia selalu bahagia,,,

ini lah kisah ku ,,,
aku akan selalu cinta kepada mu anggie novitasari nastuion,,,

gak akan pernah aku melupakannmu dan meninggalkan mu,,,

aku selalu ada di hati mu saaat kau butuh,,
aku selalu ada di mimpi mu untuk menjaga tidurmu,,
aku selalu ada di pikiran mu saat kau membutuhkan bantuan ku ,,,

aku hanya bisa berdoa dan berusaha,,
aku selalu berdoa pada allah agar kita tetap bersama ,,
gak ada pertengkaran gak ada mushan,,
gak ada ejak",,

hanya ada aku kamu dan impian kita,,,

gembira tawa canda cinta dan rasa sayang ini akan selalu ku simpan di hati ku sayangku ANGGIE NOVITASARI NASUTION,,,

Free Template Blogger collection template Hot Deals SEO

Kumpulan Misteri Dunia

> 1. MISTERI MAKHLUK DASAR LAUT
2. Tragedy misterius Mary Celeste
3. The Flying Dutchman
4. Pulau Paskah
5. Kutukan dari Raja Tutankhamen
6. Rumah Hantu AmityVille
7. Segitiga Bermuda
8. Kanjeng Ratu Kidul
9. Atlantis
10.Black Hole
11.Tembok China
12.Candi Borobudur
13.Manusia pendek
14.NAGA
15.DUYUNG
16.RAHASIA SENYUMAN MONA LISA
17.Goa Tengkorak dan Goa Lojang
18.PIRAMIDA [ I ]
19.Aceh-indonesia
20.Taj Mahal
21.U F O
22.Area 51
23.ALIEN and UFO
24.Holocaust
25.Gunung Anak Krakatau
26.Teluk Kiluan
27.Dunia Air Bawah Tanah di Meksiko
28.Leak
29.Angka 13
30.Makam Shakespeare
31.Batu permata terbesar di alam semesta
32.Mahavatar Babaji
33.Pyramida [bag II]
34.Mesin Waktu
35.The Baghdad Battery
36.Manusia Biru
37.BANJIR BESAR JAMAN NABI NUH
38.Kutukan Sang Firaun
39.Jack the Ripper
40.Buku Misterius
41.Misteri Kain Isa Al-Masih
42.Bajak laut
43.Tengkorak kristal Maya
54.The Bible Code
44.Mukjizat Nabi Musa
45.Tengkorak aneh
46.Firaun, Ufo, dan Alien
47.Chichen Itza
48.JEMBATAN RAMA
49.Mystery Spot
50.Benua Yang Hilang
51.Bosnia Pyramids
52.Temples of the Kama Sutra
53.Teotihuacan
54.Tiahuanaco
55.Fosil Mata Buatan
56.Fosil Dadu
57.Delhi Iron Pilar
58.1000 tahun mickey mouse
59.Black Death
60.Mahluk kerdil aneh
61.synchronity
62.Bumi Berongga?
63.Manusia Kerdil
64.Perang Nuklir Zaman Prasejarah?
65.Crop Circle
66.Peradaban Troy
67.Bangsa Viking
68.Bumi kita kecil ya?
69.Planet Mirip Bumi
70.End of Times?
71.bigbang dan mikrokosmos
72.Perahu Nabi Nuh
73.Kutub Utara Magnet Bumi Bergeser
74.Pergeseran dan Pembalikan Kutub di Tahun 2012
75.Yakuza
76.Jengis Khan
78.Yue Fei
79.Benito Mussolini
80.Kerajaan Romawi Kuno
81.Kong Hu-Cu
82.Gwon Yul
83.Kabbah
84.sejarah hidup Muhammad
85.Zippo, Korek Api yang Mendunia
86.NINJA
87.Gajah Mada
88.Samurai
89.Prambanan
90.Pitung
91.MASJID AL ALAM MARUNDA
92.Menara Pisa
93.Bangunan Berusia 3000 Tahun
94.Sam Po Kong
95.Michelangelo
96.Misteri Hilangnya Kapal Waratah
97.Legenda Sinterklas
98.Hancurnya Kekaisaran Romawi Kuno
99.Nero
100.Misteri Pulau Berusia Jutaan Tahun
101.Valentine
102.Dinosaurus
103.Bangsa Sumeria dan Legenda Air Bah
104.Peradaban India Kuno yang Musnah
105.Piramida Kuno di Dasar Laut Jepang
106.Kebudayaan Harappa
107.Sejarah Dracula
108.Adolf Hitler [i]
109.Adolf Hitler [ii]
110.INDONESIA PUNYA 8 PRESIDEN BUKAN 6
111.SEJARAH BENDERA MERAH PUTIH
112.Proklamasi Kemerdekaan Indonesia
113.Benteng Merah
114.SERI KERAJAAN NUSANTARA
-->Kerajaan Kutai
-->Kerajaan Tarumanagara
-->Kerajaan Sunda
-->Kerajaan Kalingga
-->Kerajaan Kadiri
-->Kerajaan Singhasari
-->Kerajaan Majapahit
-->Kerajaan Pajajaran
-->Kerajaan Medang
-->Kerajaan Malayu Dharmasraya
-->Kerajaan Sunda
-->Kerajaan Sriwijaya
115.ZOMBIE
116.Misteri Pembunuhan JFK
117.PERANG VIETNAM
118.HANNIBAL
119.Perang Dunia II
120.May Day
121.Karl Marx
122.THE ORIGINS OF FREEMASONRY
--->THE SECRECY OF FREEMASON
--->11, 13, 39: FREEMASON SIGNATURE
--->MICROSOFT AND MASONIC SYMBOLS
--->MASON AND 33 DEGREES PARALLEL
--->MORE ON THE GREAT SEAL
--->CYDONIAN GEOMETRIC OF MARS AND MASONIC SYMBOLS
--->DECODING THE GREAT SEAL
--->MASONIC'S GREAT SEAL
123.Misteri baru ica- peru
124.Asal-usul Nama Tempat di Jadebotabek [ i ]
125.Asal-usul Nama Tempat di Jadebotabek [ ii ]
126.Asal-usul Nama Tempat di Jadebotabek [ iii ]
127.Asal-usul Nama Tempat di Jadebotabek [ iv ]
128.Asal-usul Nama Tempat di Jadebotabek [ v ]
129.Asal-usul Nama Tempat di Jadebotabek [ vi ]
130.Misteri cover album The Beatles
131.Misteri kematian Puteri Diana
132.Batavia tempo dulu
133.Misteri Ledakan Mahadasyat di Siberia (1908)
134.Ogopogo
135.Dropa Stones
136.The Ark of the Covenant
137.Pulung Gantung
138.Peri
139.Baalbeck
140.Berpelukan Sehidup Semati selama 5000 Tahun
141.Bulan Diciptakan Oleh Manusia?
142.Dipaksa Menikah Dengan Mayat
143.Mothman
144.Model Pesawat Terbang Kuno
145.Tengkorak misterius
146.Pesawat Terbang sebelum 200SM
147.Wajah Manusia di Pelepah Pinang
148.Pompeii
149.Teori Baru Keberadaan Atlantis
150.The Faces of Belmez
151.New Crop Circle
152.The Lost World
153.3 Jam Terjebak di Masa Silam
154.Raksasa Cardiff yang Menggemparkan!
155.Kalung Pencabut Nyawa,
156.Jackie Chan
157.Tenggelamnya Kapal Gotheburg
158.Cleopatra
159.Message in the Bottle
160.Bumi Makin Panas
161.Reinkarnasi Biarawati Zaman Mesir Kuno
162.Perempuan-Perempuan Laut di Pulau Cheju
163.Misteri Peti Mati yang Berpindah
164.Tahyul seorang Raja
165.Washington Irving
166.Hantu Sang Admiral
167.Liechtenstein
168.Misteri Jasad-jasad Alien
169.The Black Swan Project
170.Legenda El Dorado
171.Kuil Abu Simbel
172.840 Tahun Terkubur di Dasar Laut
173.Nostradamus
174.Stigmata
175.Montauk Monster
176.Lorong Waktu yang Menggemparkan
177.Misteri Waktu Berputar Kembali
178.Misteri Bencana Alam Penyebab Kiamat
179.Indigo Child [ i ]
180.Indigo Child [ ii ]
181.Keris Mpu Gandring
182.Chairil Anwar
183.Mayat 2.150 Tahun Masih Utuh
184.Satu Lagi Bukti Manusia Raksasa
185.Ayat Suci dalam Kromosom Manusia
186.Suku Xhosa yang Tergusur
187.Petir-petir Pencabut Nyawa
188.Legenda Dewi Ma Zu
189.Mammoth
190.Marco Polo di Daratan Tiongkok
191.Misteri Gulungan Naskah Laut Merah
192.Charlie Chaplin
193.Tenggelamnya Armada Kapal Spanyol
194.Asal Muasal KOTAK PANDORA dan Mitologi Yunani
195.APAKAH YANG TERJADI DENGAN DINOSAURUS?
196.LEGENDA SI RAJA BATAK
197.Simardan
198.Legenda Danau Toba
199.BIGFOOT
200.Segitiga Bermuda versi Indonesia
201.'Kutukan' Gadis-Gadis Seksi Playboy
202.The Mystery Skeleton of Jebal Barez
203.TSUCHINOKO
204.ASWANG
205.WEREWOLF
206.PTERODACTYL
207.HANTU
208.Ikan Berkaki dan Bertanduk
209.Mahabrata
210.OSAMA BIN LADEN
211.Piagam Madinah
212.Mount Everest
213.YETI
214.Misteri Gulungan Naskah Laut Merah
215.Uga Wangsit Siliwangi
--->Kitab Musarar Jayabaya
--->Kitab Musarar Jayabaya
--->Ramalan Tujuh Satrio Piningit Ronggowarsito
216.Mumi Tutankhamun
217.La Doncella
218.7 Keajaiban Dunia Kuno
219.Sumur Zam Zam
220.BRUCE LEE
221.Misteri Kematian Bruce Lee Terjawab Sudah
222.Berikut ada hal2 yg mungkin anda tidak tau mengenai Bruce Lee.
223.SUPRIYADI
224.Patung Liberty
225.Asal Tau
226.GUNKANJIMA
227.Evora Chapel
228.Beberapa Perang Unik Sepanjang Sejarah
229.Menelusuri Jejak Kerajaan Aru
230.Kucing Bersayap?
231.Pria-Pria Terkejam Di Dunia
232.Kaisar Yao Pernah Kontak Dengan Alien
233.Sejarah Anime Dan Manga
234.Legenda Lau Kawar
235.RITUAL PAMER PAYUDARA
236.Mengenal Uang Dinar dan Dirham
237.Kahlil Gibran
238.LADY GODIVA
239.Akankah Bumi Kiamat karena Planet X (NIBIRU)?
--->Simpang Siur Planet X
--->Melihat Planet X
--->Sumeria dan Planet X
240.Pelacur Elit Sekaligus Agen Mata-mata
241.cuaca yang rada aneh
242.Manusia berasal dari Mars
243.Pemanasan di Mars
244.Cara Hidup Masyarakat Jepang
245.JOHN TITOR THE TIME TRAVELER 1
--->JOHN TITOR THE TIME TRAVELER 2
--->JOHN TITOR THE TIME TRAVELER 3
--->JOHN TITOR THE TIME TRAVELER 4
--->JOHN TITOR THE TIME TRAVELER 5
246.Misteri Hilangnya Cincin Saturnus
247.Pengalaman Menjelang mati (NDE)
248.Déjà vu
249.Menguak Misteri ”Déjà vu”
250.Laba Laba Bermuka Manusia
251.Halloween
252.Route 66
253.Ashabul Kahfi
254.Seven Sleepers
255.MISTERI TEMBOK YA'JUJ MA'JUJ
256.Keanehan Muncul nya Kapten Kapal Titanic
257.Ditemukan Fossil Raksasa di Iran
258.misteri Dzulqarnain [ Ya'juj dan Ma'juj ]
259.misteri solomon templer
260.Tengkorak purba ada bekas tembak
261.BATU PIRUS PERSIA
262.Benarkah, manusia pernah hidup dengan dinosaurus?
263.Teori Darwin
264.Rahasia Stonehenge
265.Misteri hantu
266.Bencana alam yang menyebabkan "kiamat"
267.Misteri Nabi Adam Manusia pertama
268.Sumpah pocongk
269.Pengunjung Dari Luar Bumi
270.Yesus Lahir Bulan Juni
271.Legenda Sinterklas
272.Pohon Natal
273.Isaac Newton Soal Kiamat
274.Harta Karun Soekarno
275.Hilangnya Kapal Waratah
276.Bangsa Sumeria dan Legenda Air Bah
277.Raksasa Cardiff
278.Permata Terbesar di Alam Semesta
279.Gulungan Naskah Laut Mati
280.Rahasia Angka2 Dalam Al-Qur’an
281.Menara Pisa
282.
283.
Free Template Blogger collection template Hot Deals SEO

Kebodohan Profesor yang Menganggap Agama Sebuah Mitos Terjawab Sudah

Apakah Tuhan menciptakan segala yang ada? Apakah kejahatan itu ada? Apakah Tuhan menciptakan kejahatan? Seorang Profesor dari sebuah universitas terkenal menantang mahasiswa-mahasiswa nya dengan pertanyaan ini.

“Apakah Tuhan menciptakan segala yang ada?”.

Seorang mahasiswa dengan berani menjawab, “Betul, Dia yang menciptakan semuanya”.

“Tuhan menciptakan semuanya?” Tanya professor sekali lagi.

“Ya, Pak, semuanya” kata mahasiswa tersebut.

Profesor itu menjawab,
“Jika Tuhan menciptakan segalanya, berarti Tuhan menciptakan Kejahatan. Karena kejahatan itu ada, dan menurut prinsip kita bahwa pekerjaan kita menjelaskan siapa kita, jadi kita bisa berasumsi bahwa Tuhan itu adalah kejahatan.”

Mahasiswa itu terdiam dan tidak bisa menjawab hipotesis professor tersebut.

Profesor itu merasa menang dan menyombongkan diri bahwa sekali lagi dia telah membuktikan kalau agama itu adalah sebuah mitos.

Mahasiswa lain mengangkat tangan dan berkata, “Profesor, boleh saya bertanya sesuatu?”

“Tentu saja,” jawab si Profesor

Mahasiswa itu berdiri dan bertanya, “Profesor, apakah dingin itu ada?”

“Pertanyaan macam apa itu? Tentu saja dingin itu ada. Apakah kamu tidak pernah sakit flu?” Tanya si professor diiringi tawa mahasiswa lainnya.

Mahasiswa itu menjawab,
“Kenyataannya, Pak, dingin itu tidak ada. Menurut hukum fisika, yang kita anggap dingin itu adalah ketiadaan panas. Suhu -460F adalah ketiadaan panas sama sekali. Dan semua partikel menjadi diam dan tidak bisa bereaksi pada suhu tersebut. Kita menciptakan kata dingin untuk mendeskripsikan ketiadaan panas.”

Mahasiswa itu melanjutkan, “Profesor, apakah gelap itu ada?”

Profesor itu menjawab, “Tentu saja gelap itu ada.”

Mahasiswa itu menjawab,
“Sekali lagi anda salah, Pak.Gelap itu juga tidak ada. Gelap adalah keadaan dimana tidak ada cahaya. Cahaya bisa kita pelajari, gelap tidak.”

“Kita bisa menggunakan prisma Newton untuk memecahkan cahaya menjadi beberapa warna dan mempelajari berbagai panjang gelombang setiap warna.”

“Tapi Anda tidak bisa mengukur gelap. Seberapa gelap suatu ruangan diukur dengan berapa intensitas cahaya di ruangan tersebut. Kata gelap dipakai manusia untuk mendeskripsikan ketiadaan cahaya.”

Akhirnya mahasiswa itu bertanya, “Profesor, apakah kejahatan itu ada?”

Dengan bimbang professor itu menjawab,
“Tentu saja, seperti yang telah kukatakan sebelumnya. Kita melihat setiap hari di Koran dan TV. Banyak perkara kriminal dan kekerasan di antara manusia. Perkara-perkara tersebut adalah manifestasi dari kejahatan.”

Terhadap pernyataan ini mahasiswa itu menjawab,

“Sekali lagi Anda salah, Pak. Kejahatan itu tidak ada. Kejahatan adalah ketiadaan Tuhan. Seperti dingin atau gelap, kajahatan adalah kata yang dipakai manusia untuk mendeskripsikan ketiadaan Tuhan.”

“Tuhan tidak menciptakan kejahatan. Kejahatan adalah hasil dari tidak hadirnya Tuhan di hati manusia. Seperti dingin yang timbul dari ketiadaan panas dan gelap yang timbul dari ketiadaan cahaya.”

Profesor itu terdiam.

Dan mahasiswa itu adalah,

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/a/a0/Einstein_patentoffice.jpg/459px-Einstein_patentoffice.jpg

Albert Einstein.

Free Template Blogger collection template Hot Deals SEO

LEADERSHIP

Kalkulus

[sunting]Pengaruh penting

[sunting]Prinsip-prinsip dasar

[sunting]Limit dan kecil tak terhingga

[sunting]Turunan

[sunting]Notasi pendiferensialan

[sunting]Integral

[sunting]Integral tertentu

[sunting]Integral tak tentu

[sunting]Teorema dasar

[sunting]Aplikasi

AKU , KAMU & IMPIAN KITA part 2

Kumpulan Misteri Dunia

Kebodohan Profesor yang Menganggap Agama Sebuah Mitos Terjawab Sudah

Popular Posts

Facebook :)

Tentang Penulis

Visi & Misi Penulis

Blog Archive

MENJADI SEORANG PEMIMPIN

Total Pageviews

Follow Us

Followers

Visitor